Versi asli dari cerita ini muncul di Quanta Magazine.
Ide-ide paling sederhana dalam matematika bisa jadi yang paling membingungkan.
Ambil contoh penjumlahan. Operasi ini sepertinya mudah: Salah satu kebenaran matematika awal yang kita pelajari adalah 1 tambah 1 sama dengan 2. Tapi, matematikawan masih punya banyak pertanyaan tak terjawab tentang pola-pola yang bisa dihasilkan dari penjumlahan. "Ini salah satu hal paling dasar yang bisa dilakukan," kata Benjamin Bedert, mahasiswa pascasarjana di Universitas Oxford. "Entah kenapa, masih banyak misterinya."
Dalam menyelidiki misteri ini, matematikawan juga berharap memahami batas kekuatan penjumlahan. Sejak awal abad ke-20, mereka mempelajari sifat "sum-free sets"—himpunan angka di mana tak ada dua angka dalam himpunan itu yang jumlahnya sama dengan angka ketiga di dalamnya. Misalnya, jumlahkan dua angka ganjil, hasilnya genap. Maka, himpunan angka ganjil adalah sum-free.
Dalam makalah 1965, matematikawan produktif Paul Erdős menanyakan pertanyaan simpel tentang seberapa umum sum-free sets ini. Tapi selama puluhan tahun, kemajuan soal ini nyaris tidak ada.
"Ini terdengar sangat dasar, tapi pemahaman kita ternyata sangat minim," kata Julian Sahasrabudhe, matematikawan di Universitas Cambridge.
Hingga Februari lalu. Enam puluh tahun setelah Erdős mengajukan masalahnya, Bedert memecahkannya. Ia menunjukkan bahwa dalam himpunan apa pun yang terdiri dari bilangan bulat—angka positif dan negatif—pasti ada subhimpunan besar yang sum-free. Buktinya menggali jauh ke dalam matematika, menyatukan teknik dari berbagai bidang untuk menemukan struktur tersembunyi bukan cuma di sum-free sets, tapi juga di banyak konteks lain.
"Pencapaian yang luar biasa," kata Sahasrabudhe.
Terjebak di Tengah
Erdős tahu bahwa himpunan bilangan bulat pasti mengandung subset sum-free yang lebih kecil. Misalnya himpunan {1, 2, 3}, yang bukan sum-free. Ia punya lima subset sum-free, seperti {1} dan {2, 3}.
Erdős ingin tahu seberapa jauh fenomena ini berlaku. Jika kamu punya himpunan dengan satu juta bilangan bulat, seberapa besar subset sum-free terbesarnya?
Dalam banyak kasus, ukurannya sangat besar. Jika kamu memilih satu juta angka acak, sekitar setengahnya ganjil—memberimu subset sum-free dengan sekitar 500.000 elemen.
Paul Erdős terkenal karena kemampuannya merumuskan dugaan mendalam yang masih memandu penelitian matematika hingga kini.
Foto: George Csicsery
Di makalah 1965-nya, Erdős menunjukkan—dengan bukti yang hanya beberapa baris dan dipuji jenius oleh matematikawan lain—bahwa himpunan apa pun dengan N bilangan bulat memiliki subset sum-free minimal N/3 elemen.
Tapi dia tak puas. Buktinya berurusan dengan rata-rata: Ia menemukan sekumpulan subset sum-free dan menghitung bahwa ukuran rata-ratanya N/3. Tapi dalam kumpulan seperti ini, subset terbesar biasanya jauh lebih besar dari rata-rata.
Erdős ingin mengukur ukuran subset sum-free yang sangat besar ini.
Matematikawan kemudian menduga bahwa saat himpunan semakin besar, subset sum-free terbesarnya akan jauh lebih besar dari N/3. Bahkan, penyimpangannya bisa tak terhingga. Prediksi ini—bahwa ukuran subset sum-free terbesar adalah N/3 ditambah penyimpangan yang membesar tanpa batas bersama N—kini dikenal sebagai sum-free sets conjecture.