Dengan kata lain, masalah ke-10 Hilbert tidak dapat diputuskan.
Matematikawan berharap untuk mengikuti pendekatan yang sama untuk membuktikan versi masalah yang diperluas, cincin bilangan bulat – namun mereka mengalami kendala.
Menggumukan Pekerjaan
Korespondensi yang berguna antara mesin Turing dan persamaan Diophantine runtuh ketika persamaan diizinkan memiliki solusi non-bulat. Misalnya, pertimbangkan lagi persamaan y = x2. Jika Anda bekerja di cincin bilangan yang mencakup √2, maka Anda akan mendapatkan beberapa solusi baru, seperti x = √2, y = 2. Persamaan tersebut tidak lagi sesuai dengan mesin Turing yang menghitung kuadrat sempurna – dan, secara lebih umum, persamaan Diophantine tidak lagi dapat mengkodekan masalah berhenti.
Tetapi pada tahun 1988, seorang mahasiswa pascasarjana di New York University bernama Sasha Shlapentokh mulai bermain dengan ide-ide untuk mengatasi masalah ini. Pada tahun 2000, dia dan yang lainnya telah merumuskan rencana. Katakanlah Anda menambahkan sekelompok istilah tambahan ke sebuah persamaan seperti y = x2 yang secara ajaib memaksa x menjadi bilangan bulat lagi, bahkan dalam sistem angka yang berbeda. Kemudian Anda dapat menyelamatkan korespondensi ke mesin Turing. Apakah hal yang sama bisa dilakukan untuk semua persamaan Diophantine? Jika demikian, itu akan berarti bahwa masalah Hilbert dapat mengkodekan masalah berhenti dalam sistem angka baru.
Ilustrasi: Myriam Wares untuk Majalah Quanta
Selama bertahun-tahun, Shlapentokh dan matematikawan lainnya menemukan istilah-istilah apa yang harus mereka tambahkan ke persamaan Diophantine untuk berbagai jenis cincin, yang memungkinkan mereka untuk menunjukkan bahwa masalah Hilbert masih tidak dapat diputuskan dalam pengaturan tersebut. Mereka kemudian mereduksi semua cincin bilangan yang tersisa menjadi satu kasus: cincin yang melibatkan bilangan imajiner i. Matematikawan menyadari bahwa dalam kasus ini, istilah-istilah yang harus mereka tambahkan dapat ditentukan menggunakan persamaan khusus yang disebut kurva elips.
Tetapi kurva elips harus memenuhi dua sifat. Pertama, itu perlu memiliki solusi tak terhingga. Kedua, jika Anda beralih ke cincin bilangan yang berbeda – jika Anda menghapus bilangan imajiner dari sistem angka Anda – maka semua solusi untuk kurva elips harus mempertahankan struktur dasar yang sama.
Ternyata, membangun kurva elips yang bekerja untuk setiap cincin yang tersisa adalah tugas yang sangat halus dan sulit. Tetapi Koymans dan Pagano – pakar kurva elips yang telah bekerja sama erat sejak mereka di sekolah pascasarjana – memiliki seperangkat alat yang tepat untuk mencoba.
Malam-Malam Tanpa Tidur
Sejak masa kuliahnya, Koymans telah memikirkan masalah ke-10 Hilbert. Sepanjang masa kuliah, dan sepanjang kerjasamanya dengan Pagano, itu menarik. “Saya menghabiskan beberapa hari setiap tahun memikirkannya dan terjebak parah,” kata Koymans. “Saya akan mencoba tiga hal dan semuanya akan gagal di depan wajah saya.”
Pada tahun 2022, saat menghadiri konferensi di Banff, Kanada, ia dan Pagano akhirnya mengobrol tentang masalah tersebut. Mereka berharap bahwa bersama, mereka bisa membangun kurva elips khusus yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Setelah menyelesaikan beberapa proyek lain, mereka mulai bekerja.