Anda bisa membuat grafik dengan sudut sebagai sumbu x dan kecepatan sebagai sumbu y. Namun karena bepergian 360 derajat membawa Anda kembali ke awal, Anda bisa menjahit bersama garis vertikal di mana x adalah nol derajat dan di mana x adalah 360 derajat. Ini membuat silinder. Silinder tersebut tidak secara langsung mencerminkan realitas fisik—tidak menunjukkan jalur yang dilalui bandul—sebaliknya, setiap titik pada silinder itu mewakili keadaan tertentu dari bandul. Silinder, bersama dengan hukum-hukum yang menentukan jalur-jalur yang dapat diikuti oleh bandul, membentuk ruang simpelktik.
Sejak awal abad ke-17, ketika Johannes Kepler merumuskan hukum-hukumnya, fisikawan dan matematikawan telah memiliki pemahaman yang kuat tentang cara menjelaskan gerakan dua benda yang tunduk pada gravitasi. Bergantung pada seberapa cepat mereka bergerak, jalur mereka membentuk elips, parabola, atau hiperbola. Ruang simpelktik yang sesuai lebih rumit daripada yang untuk bandul, tetapi masih bisa diatasi. Namun, memperkenalkan objek ketiga membuat solusi analitik yang tepat tidak mungkin untuk dihitung. Dan semakin rumit jika Anda menambahkan lebih banyak benda ke model tersebut. “Tanpa wawasan analitik itu, Anda hampir selalu, pada beberapa tingkat, menembak ke dalam gelap,” kata Scheeres.
Sebuah wahana antariksa yang bisa bergerak bebas dalam setiap arah—kanan ke kiri, atas dan bawah, dan depan ke belakang—membutuhkan tiga koordinat untuk menjelaskan posisinya, dan tiga lagi untuk menjelaskan kecepatannya. Itu membuat ruang simpelktik berdimensi enam. Untuk menjelaskan gerakan tiga benda, seperti Jupiter, Europa, dan sebuah wahana antariksa, Anda memerlukan 18 dimensi: enam per benda. Geometri ruang itu ditentukan tidak hanya oleh jumlah dimensi yang dimilikinya, tetapi juga oleh kurva-kurva yang menunjukkan bagaimana sistem fisik yang dijelaskan itu berkembang seiring waktu.
Moreno dan Koh bekerja pada versi “terbatas” dari masalah tiga benda di mana salah satu benda (wahana antariksa) begitu kecil sehingga tidak berdampak pada dua lainnya (Jupiter dan Europa). Untuk menyederhanakan hal-hal lebih lanjut, para peneliti mengasumsikan orbit bulan itu sempurna lingkaran. Anda bisa mengambil orbit lingkaran itu sebagai latar belakang tetap untuk mempertimbangkan jalur wahana antariksa. Ruang simpelktik hanya perlu mempertimbangkan posisi dan kecepatan wahana antariksa, karena gerakan Jupiter dan Europa dapat dengan mudah dijelaskan. Jadi, daripada berdimensi 18, ruang simpelktik yang sesuai berdimensi enam. Ketika jalur dalam ruang berdimensi enam ini membentuk lingkaran, itu mewakili orbit periodik wahana antariksa melalui sistem planet-bulan.
Ketika Koh menghubungi Moreno, dia penasaran tentang kasus di mana menambahkan sedikit energi menyebabkan orbit wahana antariksa melompat dari satu keluarga ke keluarga lainnya. Titik pertemuan ini antara keluarga orbit disebut titik bifurkasi. Seringkali banyak keluarga akan bertemu di satu titik. Ini membuat mereka sangat berguna bagi perencana lintasan. “Memahami struktur bifurkasi memberi Anda peta jalan ke mana ada lintasan menarik yang harus Anda lihat,” kata Scheeres. Koh ingin tahu bagaimana mengidentifikasi dan memprediksi titik bifurkasi.