Tapi itu tidak jelas. Mereka harus menganalisis kumpulan fungsi khusus, yang disebut Jumlah Tipe I dan Tipe II, untuk setiap versi masalah mereka, kemudian menunjukkan bahwa jumlah tersebut setara tidak peduli kendala yang mereka gunakan. Hanya setelah itu Green dan Sawhney akan tahu bahwa mereka dapat menggantikan bilangan prima kasar ke dalam bukti mereka tanpa kehilangan informasi.
Mereka segera menyadari: Mereka bisa menunjukkan bahwa jumlah tersebut setara menggunakan alat yang masing-masing dari mereka telah temui secara independen dalam pekerjaan sebelumnya. Alat tersebut, yang dikenal sebagai norma Gowers, dikembangkan puluhan tahun sebelumnya oleh matematikawan Timothy Gowers untuk mengukur seberapa acak atau terstruktur suatu fungsi atau kumpulan angka. Pada dasarnya, norma Gowers ini tampaknya milik ranah matematika yang benar-benar berbeda. “Hampir tidak mungkin untuk diketahui sebagai orang luar bahwa hal-hal ini terkait,” kata Sawhney.
Tetapi menggunakan hasil penting yang dibuktikan pada tahun 2018 oleh matematikawan Terence Tao dan Tamar Ziegler, Green dan Sawhney menemukan cara untuk membuat koneksi antara norma Gowers dan Jumlah Tipe I dan II. Pada dasarnya, mereka perlu menggunakan norma Gowers untuk menunjukkan bahwa dua set bilangan prima mereka – set yang dibangun menggunakan bilangan prima kasar, dan set yang dibangun menggunakan bilangan prima nyata – cukup mirip.
Seperti yang ternyata, Sawhney tahu cara melakukannya. Awal tahun ini, untuk memecahkan masalah yang tidak terkait, dia telah mengembangkan teknik untuk membandingkan set menggunakan norma Gowers. Kejutannya, teknik tersebut cukup baik untuk menunjukkan bahwa dua set tersebut memiliki jumlah Tipe I dan II yang sama.
Dengan ini di tangan, Green dan Sawhney membuktikan tebakan Friedlander dan Iwaniec: Ada tak berhingga banyak bilangan prima yang dapat ditulis sebagai p2 + 4q2. Pada akhirnya, mereka berhasil memperluas hasil mereka untuk membuktikan bahwa ada tak berhingga banyak bilangan prima yang termasuk ke dalam keluarga jenis lain juga. Hasil tersebut menandai terobosan signifikan pada jenis masalah di mana kemajuan biasanya sangat jarang terjadi.
Lebih penting lagi, pekerjaan ini menunjukkan bahwa norma Gowers dapat berperan sebagai alat yang sangat berguna dalam domain baru. “Karena ini sangat baru, setidaknya dalam bagian ini dari teori bilangan, ada potensi untuk melakukan berbagai hal lain dengannya,” kata Friedlander. Para matematikawan sekarang berharap dapat memperluas cakupan norma Gowers bahkan lebih jauh – untuk mencoba menggunakannya untuk memecahkan masalah-masalah lain dalam teori bilangan di luar menghitung bilangan prima.
“Sangat menyenangkan bagi saya melihat hal-hal yang saya pikirkan beberapa waktu lalu memiliki aplikasi baru yang tak terduga,” kata Ziegler. “Seperti sebagai seorang orang tua, ketika Anda melepaskan anak Anda dan mereka tumbuh dewasa dan melakukan hal-hal misterius, tak terduga.”