Versi asli dari artikel ini muncul di Quanta Magazine.
Bayangkan sebuah latihan pelari yang aneh: Sekelompok pelari mulai berlari di lintasan melingkar, dengan masing-masing menjaga kecepatan konstan yang unik. Akankah setiap pelari akhirnya merasa “kesepian”, atau relatif jauh dari pelari lain, setidaknya sekali, terlepas dari kecepatan mereka?
Para matematikawan menduga bahwa jawabannya adalah ya.
Masalah “pelari kesepian” ini mungkin terlihat sederhana dan tak penting, namun ia muncul dalam banyak bentuk di seluruh cabang matematika. Ia setara dengan pertanyaan dalam teori bilangan, geometri, teori graf, dan lainnya—tentang kapan mungkin untuk mendapatkan garis pandang yang jelas di antara rintangan, atau ke mana bola biliar bisa bergerak di atas meja, atau cara mengorganisasi suatu jaringan. “Masalah ini memiliki begitu banyak segi. Ia menyentuh berbagai bidang matematika yang berbeda,” kata Matthias Beck dari Universitas Negeri San Francisco.
Untuk hanya dua atau tiga pelari, pembuktian konjektur ini bersifat elementer. Matematikawan membuktikannya untuk empat pelari pada tahun 1970-an, dan pada 2007, mereka telah mencapai hingga tujuh pelari. Namun selama dua dekade terakhir, tak seorang pun mampu maju lebih jauh.
Kemudian tahun lalu, Matthieu Rosenfeld, seorang matematikawan di Laboratorium Ilmu Komputer, Robotika, dan Mikroelektronika Montpellier, membuktikan konjektur untuk delapan pelari. Dan dalam hitungan minggu, seorang mahasiswa tahun kedua di Universitas Oxford bernama Tanupat (Paul) Trakulthongchai mengembangkan ide Rosenfeld untuk membuktikannya untuk sembilan dan sepuluh pelari.
Kemajuan pesat ini menghidupkan kembali minat pada masalah tersebut. “Ini benar-benar sebuah lompatan kuantum,” kata Beck, yang tidak terlibat dalam penelitian itu. Menambahkan hanya satu pelari membuat tugas membuktikan konjektur menjadi “secara eksponensial lebih sulit,” ujarnya. “Beralih dari tujuh pelari menjadi 10 pelari sekarang sungguh luar biasa.”
Langkah Awal yang Cepat
Pada awalnya, masalah pelari kesepian tidak ada hubungannya dengan lari.
Alih-alih, para matematikawan tertarik pada masalah yang tampaknya tak terkait: bagaimana menggunakan pecahan untuk mengaproksimasi bilangan irasional seperti pi, sebuah tugas yang memiliki sejumlah besar aplikasi. Pada tahun 1960-an, seorang mahasiswa pascasarjana bernama Jörg M. Wills menduga bahwa sebuah metode berusia seabad untuk melakukannya adalah optimal—bahwa tidak ada cara untuk memperbaikinya.
Pada tahun 1998, sekelompok matematikawan menulis ulang konjektur itu dalam bahasa berlari. Katakanlah N pelari mulai dari titik yang sama di lintasan melingkar yang panjangnya 1 unit, dan masing-masing berlari dengan kecepatan konstan yang berbeda. Konjektur Wills setara dengan mengatakan bahwa setiap pelari akan selalu berakhir kesepian di suatu titik, apapun kecepatan pelari lain. Lebih tepatnya, setiap pelari akan pada suatu saat menemukan diri mereka berada pada jarak setidaknya 1/N dari pelari lain mana pun.
Ketika Wills melihat makalah pelari kesepian itu, dia mengirim surel kepada salah satu penulis, Luis Goddyn dari Universitas Simon Fraser, untuk mengucapkan selamat atas “nama yang indah dan puitis ini.” (Jawaban Goddyn: “Oh, Anda masih hidup.”)
Jörg Wills mengajukan sebuah konjektur dalam teori bilangan yang, beberapa dekade kemudian, dikenal sebagai masalah pelari kesepian.
Courtesy of Jörg Wills/Quanta Magazine
Para matematikawan juga menunjukkan bahwa masalah pelari kesepian setara dengan pertanyaan lain. Bayangkan selembar kertas grafik tak hingga. Di pusat setiap kotak, tempatkan sebuah persegi kecil. Kemudian mulai dari salah satu sudut kotak dan gambar garis lurus. (Garis dapat mengarah ke arah mana pun selain vertikal atau horizontal sempurna.) Seberapa besarkah persegi kecil itu bisa dibuat sebelum garis tersebut harus mengenai salah satunya?
Seiring versi masalah pelari kesepian bermunculan di seluruh matematika, minat terhadap pertanyaan itu tumbuh. Matematikawan membuktikan kasus-kasus berbeda dari konjektur dengan menggunakan teknik yang sama sekali berbeda. Kadang-kadang mereka mengandalkan alat dari teori bilangan; di waktu lain mereka beralih ke geometri atau teori graf.