“Kami sebagian besar percaya bahwa semua konjektur itu benar, tapi sangat menarik melihatnya terwujud nyata,” kata Ana Caraiani, seorang matematikawan di Imperial College London. “Dan dalam kasus yang kamu kira benar-benar tak terjangkau.”
Ini baru awal dari pencarian yang akan memakan waktu bertahun-tahun—para matematikawan pada akhirnya ingin menunjukkan modularitas untuk setiap permukaan abel. Tapi hasil ini sudah bisa membantu menjawab banyak pertanyaan terbuka, sama seperti pembuktian modularitas untuk kurva eliptik membuka berbagai arah penelitian baru.
Melalui Kaca Pembesar
Kurva eliptik adalah jenis persamaan yang sangat fundamental yang hanya menggunakan dua variabel—x dan y. Jika kamu menggambarkan solusinya, kamu akan melihat apa yang tampak seperti kurva sederhana. Tapi solusi ini saling terkait dengan cara yang kaya dan rumit, dan mereka muncul dalam banyak pertanyaan paling penting dalam teori bilangan. Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer, misalnya—salah satu masalah terbuka tersulit dalam matematika, dengan hadiah $1 juta bagi siapa yang membuktikannya pertama—adalah tentang sifat solusi kurva eliptik.
Kurva eliptik bisa sulit dipelajari secara langsung. Jadi kadang matematikawan lebih suka mendekatinya dari sudut berbeda.
Di sinilah bentuk modular masuk. Bentuk modular adalah fungsi yang sangat simetris yang muncul di bidang studi matematika yang tampak terpisah, disebut analisis. Karena mereka menunjukkan begitu banyak simetri yang bagus, bentuk modular bisa lebih mudah dikerjakan.
Awalnya, objek-objek ini sepertinya tidak seharusnya terkait. Tapi bukti Taylor dan Wiles mengungkapkan bahwa setiap kurva eliptik berkorespondensi dengan bentuk modular spesifik. Mereka memiliki properti tertentu yang sama—misalnya, serangkaian angka yang menggambarkan solusi kurva eliptik juga akan muncul di bentuk modular terkaitnya. Matematikawan karenanya dapat menggunakan bentuk modular untuk mendapatkan wawasan baru tentang kurva eliptik.
Tapi matematikawan berpikir teorema modularitas Taylor dan Wiles hanya satu contoh dari fakta universal. Ada kelas objek yang jauh lebih umum di luar kurva eliptik. Dan semua objek ini seharusnya juga memiliki pasangan di dunia fungsi simetris yang lebih luas seperti bentuk modular. Inilah, pada dasarnya, yang menjadi inti program Langlands.
Kurva eliptik hanya punya dua variabel—x dan y—jadi bisa digambar di kertas datar. Tapi jika kamu menambahkan variabel lain, z, kamu dapatkan permukaan melengkung yang hidup di ruang tiga dimensi. Objek lebih rumit ini disebut permukaan abel, dan seperti kurva eliptik, solusinya memiliki struktur rumit yang ingin dipahami matematikawan.
Tampak alami bahwa permukaan abel harus berkorespondensi dengan jenis bentuk modular yang lebih rumit. Tapi variabel tambahan membuat mereka jauh lebih sulit dikonstruksi dan solusi mereka jauh lebih sulit ditemukan. Membuktikan bahwa mereka juga memenuhi teorema modularitas sepenuhnya tampak di luar jangkauan. “Itu masalah yang dikenal untuk tidak dipikirkan, karena orang sudah memikirkannya dan terjebak,” kata Gee.
Tapi Boxer, Calegari, Gee, dan Pilloni ingin mencoba.
Mencari Jembatan
Keempat matematikawan terlibat dalam penelitian tentang program Langlands, dan mereka ingin membuktikan salah satu konjektur ini untuk “objek yang benar-benar muncul di kehidupan nyata, bukan sesuatu yang aneh,” kata Calegari.
Tidak hanya permukaan abel muncul di kehidupan nyata—kehidupan nyata matematikawan, tentunya—tapi membuktikan teorema modularitas tentang mereka akan membuka pintu matematika baru. “Ada banyak hal yang bisa kamu lakukan jika punya pernyataan ini yang tidak mungkin dilakukan sebaliknya,” kata Calegari.
“Setelah kopi, kami selalu bercanda bahwa kami harus kembali ke tambang.”
Vincent Pilloni
Para matematikawan mulai bekerja sama pada 2016, berharap mengikuti langkah sama seperti Taylor dan Wiles dalam bukti mereka tentang kurva eliptik. Tapi setiap langkah itu jauh lebih rumit untuk permukaan abel.
Jadi mereka fokus pada jenis permukaan abel tertentu, disebut permukaan abel biasa, yang lebih mudah dikerjakan. Untuk permukaan seperti itu, ada rangkaian angka yang menggambarkan struktur solusinya. Jika mereka bisa menunjukkan bahwa rangkaian angka sama bisa diturunkan dari bentuk modular, mereka selesai. Angka-angka itu akan berfungsi sebagai tag unik, memungkinkan mereka memasangkan setiap permukaan abel mereka dengan bentuk modular.
“`
(Terdapat 2 kesalahan kecil seperti `