Mencari tahu apa saja subgrup dari sebuah grup mengandung adalah satu cara untuk memahami strukturnya. Misalnya, subgrup dari Z6 adalah {0}, {0, 2, 4} dan {0, 3} – subgrup yang tidak penting, kelipatan dari 2, dan kelipatan dari 3. Di grup D6, rotasi membentuk subgrup, tetapi pantulan tidak. Itu karena dua pantulan yang dilakukan secara berurutan menghasilkan rotasi, bukan pantulan, sama seperti menambahkan dua angka ganjil menghasilkan angka genap.
Beberapa jenis subgrup yang disebut subgrup “normal” sangat membantu bagi para matematikawan. Dalam sebuah grup komutatif, semua subgrup adalah normal, tetapi ini tidak selalu benar secara umum. Subgrup-subgrup ini tetap memiliki beberapa properti yang paling berguna dari komutativitas, tanpa memaksa seluruh grup menjadi komutatif. Jika daftar subgrup normal dapat diidentifikasi, grup dapat dibagi menjadi komponen seperti halnya bilangan bulat dapat dibagi menjadi produk dari bilangan prima. Grup yang tidak memiliki subgrup normal disebut grup sederhana dan tidak dapat dipecahkan lebih lanjut, sama seperti bilangan prima tidak dapat difaktorkan. Grup Zn sederhana hanya ketika n adalah bilangan prima – kelipatan dari 2 dan 3, misalnya, membentuk subgrup normal dalam Z6.
Namun, grup sederhana tidak selalu begitu sederhana. “Ini adalah salah satu kesalahan terbesar dalam matematika,” kata Hart. Pada tahun 1892, matematikawan Otto Hölder mengusulkan agar para peneliti menyusun daftar lengkap dari semua grup sederhana terbatas yang mungkin. (Grup tak terhingga seperti bilangan bulat membentuk bidang studi mereka sendiri.)
Ternyata hampir semua grup sederhana terbatas entah terlihat seperti Zn (untuk nilai n prima) atau termasuk dalam salah satu dari dua keluarga lainnya. Dan ada 26 pengecualian, yang disebut grup sporadis. Menjelaskan mereka, dan menunjukkan bahwa tidak ada kemungkinan lain, memakan waktu lebih dari satu abad.
Grup sporadis terbesar, yang pantas disebut grup monster, ditemukan pada tahun 1973. Ini memiliki lebih dari 8 × 1054 elemen dan mewakili rotasi geometris dalam ruang dengan hampir 200.000 dimensi. “Ini gila bahwa hal ini bisa ditemukan oleh manusia,” kata Hart.
Pada tahun 1980-an, sebagian besar pekerjaan yang diminta oleh Hölder tampaknya telah selesai, tetapi sulit untuk menunjukkan bahwa tidak ada lagi grup sporadis yang ada di luar sana. Klasifikasi ini tertunda lebih lanjut ketika, pada tahun 1989, komunitas menemukan kesenjangan dalam bukti 800 halaman dari awal 1980-an. Bukti baru akhirnya diterbitkan pada tahun 2004, menyelesaikan klasifikasi itu.
Banyak struktur dalam matematika modern – cincin, lapangan, dan ruang vektor, misalnya – diciptakan ketika struktur lebih ditambahkan ke grup. Dalam cincin, Anda dapat mengalikan serta menambah dan mengurangkan; dalam lapangan, Anda juga dapat membagi. Tetapi di bawah semua struktur yang lebih rumit ini adalah ide grup asli yang sama, dengan empat aksioma. “Kekayaan yang mungkin dalam struktur ini, dengan empat aturan ini, luar biasa,” kata Hart.